ЗАДАЧИ ДЛЯ 4 КЛАССА

1. Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как ее зовут? Имеет ли задача однозначный ответ? Почему?
2. Сегодня Сереже исполнилось 10 лет, а Вове – 1 год. Каков будет возраст Сережи, когда он станет втрое старше Вовы?
3. Можно ли четырехугольник, нарисованный справа, разрезать на четыре равные части? Если да, то как (нарисуйте), если нет, то объясните – почему?
4. Лисы всегда лгут, зайцы всегда говорят правду. В одном лесу живут только зайцы и лисы. На поляне собрались трое из них.
   • Первый сказал: «Я здесь один такой зверь».
   • Второй сказал: «Да, он здесь такой один».
   • Третий сказал: «Да, лиса одна».
   Определите, какие звери названы «первый», «второй» и «третий», объясните – почему?
5. Для выпечки одного блина Фрекен Бок требуется 4 минуты – по 2 минуты с каждой стороны. У неё есть двое песочных часов – на 3 и на 5 минут. Удастся ли ей выпечь 4 блина ровно за 16 минут? Если да – как именно?
6. Три человека выписали по 100 различных слов. После этого слова, встречающиеся среди получившихся 300 слов не менее двух pаз, вычеркнули. В результате у одного осталось 45 слов, у другого – 68, а у третьего – 54. Докажите, что по крайней мере одно слово встречается у всех троих.

ЗАДАЧИ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ

1. Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528?
2. Дядя купил всем своим племянникам по новогоднему подарку, состоящему из конфеты, апельсина, пирожного, шоколадки и книги. Если бы он на те же деньги купил одних конфет, их оказалось бы 224. Апельсинов он на те же деньги мог бы купить 112, пирожных – 56, шоколадок – 32, книг – 16. Сколько племянников у дяди? Ответ обоснуйте.
3. Расставьте числа от 1 до 21 в кружки так, чтобы любое число в нижнем ряду было равно разности чисел, стоящих в верхнем ряду и соединенных с ним? На картинке всего 21 кружок (11 – в верхнем ряду и 10 – в нижнем).
4. Какое наибольшее количество слонов можно расставить на чёрных клетках шахматной доски так, чтобы они не били друг друга? (Размеры шахматной доски – 8×8, шахматный слон ходит и бьёт по диагонали)
5. Разрезать фигуру на рисунке на две равные части, из которых можно сложить квадрат. Нарисовать, как разрезать и как складывать.
6. В шеренгу выстроились 99 человек, каждый из которых – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Первый сказал: "Количество рыцарей среди нас – делитель числа 1", второй сказал: "Количество рыцарей среди нас – делитель числа 2" и т.д., вплоть до девяносто девятого, который сказал: "Количество рыцарей среди нас – делитель числа 99". Сколько в шеренге рыцарей?

ЗАДАЧИ ДЛЯ 7-8 КЛАССОВ

1. Дано выражение . Представьте его в виде обыкновенной дроби.
2. Найдите такое наибольшее натуральное число, в записи которого все цифры различны и нет нуля, что если взять в нем любые две подряд идущие цифры, то число, образованное ими, будет делиться на 7.
3. Разрежьте фигуру на три части и сложите из них квадрат. Не забудьте доказать, что полученная фигура является квадратом.
4. Три фермера приехали на рынок. Фред сказал Джеку: «Если я дам тебе 6 своих свиней в обмен на одну лошадь, то ты будешь иметь вдвое больше животных, чем я». «А вот если бы я поменял 14 своих овец на одну твою лошадь», – сказал Билл Фреду, – «то ты имел бы в три раза больше животных, чем я». «Лучше я отдам тебе 4 своих коровы в обмен на твою лошадь», – сказал Джек Биллу, – «и тогда ты будешь иметь вшестеро больше животных, чем я». Сколько животных имеет каждый фермер?
5. Какое из чисел больше: 128²⁸⁷ или 3¹²⁷⁹?
6. В кучке лежит 13 желтых и 14 белых монет, из которых ровно одна – фальшивая. Настоящая белая и настоящая желтая монета весят поровну. Если фальшивая монета желтая, то она легче настоящей, а если белая – то тяжелее. Как определить фальшивую монету за три взвешивания на рычажных весах (без гирь)?

ЗАДАЧИ ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ

1. Решите уравнение: (x² - 6x)² - 2(x - 3)² = 81.
2. Числа a, b и c таковы, что графики функций y =  ax  + b, y = bx + c и y = cx + a имеют общую точку. Докажите, что a = b = c.
3. Пловец плывёт с постоянной скоростью против течения реки и встречает плывущую по течению пустую лодку. Продолжая плыть против течения ещё пять минут после момента встречи, он затем поворачивает назад и догоняет лодку в 200 метрах от места встречи. Найти скорость течения реки (в км/ч).
4. Заданы пять чисел: a₁ = 1, a₂ = -1, a₃ = -1, a₄ = 1, a₅ = -1. Шестое число равно произведению первого на второе, седьмое – произведению второго на третье, восьмое – произведению третьего на четвёртое и т.д. Чему равно a₂₀₀₉?
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и BC равны, и ∠A + ∠C = 180°. Докажите, что 2BD > AD + CD.
6. На каждой грани куба поставлено натуральное число. В каждой вершине этого куба поставлено произведение чисел на примыкающих к этой вершине гранях. Сумма всех чисел в вершинах оказалась равна 1001. Чему может быть равна сумма всех чисел на гранях?