Довыводные задачи.

1. На вписанной окружности равностороннего треугольника ABC взята точка P. Отрезок AP пересекает вписанную окружность второй раз в точке Q, причем AQ = QP. Найдите ÐBPC.
2. Докажите, что для любого действительного корня уравнения х³+px+q = 0 выполняется неравенство 4qx ≤ p².
3. Докажите неравенство:

   (x²+1)²	+	(y²+1)²	≥8
   x²		y²

4. Некоторое шестизначное число начинается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть и приписать единицу справа, то получается число, втрое больше первого. Найти эти числа.
5. Двое играют в такую игру. Вначале имеются четыре пустых коробки. Ход состоит в том, что игрок кладёт по рублю в три произвольно выбранных коробки. Победителем считается тот, после хода которого в одной из коробок впервые окажется 100 рублей. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто делает первый ход, или его партнёр?

   ---

   Послевыводные задачи.

6. Число 28 возвели в 2003-ю степень. Можно ли в получившемся числе изменить ровно одну цифру так, чтобы оно стало простым?
7. Можно ли построить описанный 2003-угольник, стороны которого, взятые в некотором порядке (не обязательно подряд) имеют длины 1, 2, 3,…, 2003?
8. В восьми корзинах лежали яблоки трех сортов: антоновка, джонатан и ранет, причем в каждой корзине - яблоки только одного сорта. В первой корзине лежали 20 яблок, во второй - 26, в третьей - 28, в четвертой - 32, в пятой - 36, в шестой - 40, в седьмой - 43, в восьмой - 47. После того, как продали корзину ранета, его осталось вдвое больше, чем антоновки, но вдвое меньше, чем джонатана. В каких корзинах лежала антоновка, а в каких - ранет?