ЗАДАЧИ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ

1. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две равные части.
   
2. Из одной бочки нужно перелить в другую 1 литр воды, пользуясь вёдрами в 7 литров и 12 литров. Как это сделать?
   
3. Все аборигены волшебного острова - либо рыцари, говорящие только правду, либо лжецы, которые всегда лгут. Однажды, абориген Вася в присутствии другого аборигена Пети заявил: "По крайней мере один из нас - лжец". Кем же являются Вася и Петя?
   
4. При сложении двух чисел Незнайка поставил лишний ноль на конце первого слагаемого и в результате получил 6641 вместо 2411. Какие числа он складывал?
   
5. Гирлянда состоит из 10 последовательно соединённых лампочек. Известно, что ровно одна из лампочек перегорела, но неизвестно, какая. Для замены перегоревшей имеется только одна запасная исправная лампочка. Чтобы вывинтить лампочку, нужно 10 секунд, чтобы завинтить - тоже 10 секунд (временем на остальные действия можно пренебречь). Можно ли гарантированно найти перегоревшую лампочку за 3 минуты?
   
6. Подряд написали числа 1, 2, 3, 4, ..., 2005. Каких цифр при записи этих чисел было использовано больше - единиц или двоек? На сколько?
   

ЗАДАЧИ ДЛЯ 7-8 КЛАССОВ.

1. Вычислите сумму: 1-2+3-4+5-6+7-8+...-2004+2005.
   
2. Сравните без использования калькулятора числа 12345/12346 и 123456/123457.
   
3. Карлсон съедает трёхлитровую банку сгущенного молока за 1 час, Малыш - за 6 часов, а фрекен Бок - за 2 часа. За какое время они втроём съедят две таких банки?
   
4. Какой угол составляют между собой часовая и минутная стрелка в 9 часов 15 минут?
   
5. Подряд написаны числа 1, 2, 3, ..., 2005. Первое, третье, пятое и т.д. по порядку вычёркивают. Из оставшихся чисел снова вычёркивают первое, третье, пятое и т.д. Так делают до тех пор, пока не останется одно число. Что это за число?
   
6. На треугольном острове расположены четыре треугольных государства. Барон Мюнхгаузен, побывав на острове, сообщил, что каждое государство граничит с тремя остальными. Могло ли такое быть? (Кроме этих четырёх государств на острове больше ничего нет. Государства граничат между собой, если они имеют общий участок границы. Если они касаются друг друга только в одной точке, они не считаются граничащими.)
   

ЗАДАЧИ ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ.

1. Решите уравнение (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=105.
   
2. Существует ли десятизначное число, делящееся на 11, в записи которого использованы все цифры от 0 до 9?
   
3. Из Кургана в Варгаши выехал грузовик. Через 5 минут из Кургана по той же дороге выехал легковой автомобиль. Через 10 минут после этого он обогнал грузовик и прибыл в Варгаши на 15 минут раньше грузовика. Сколько времени грузовик ехал от Кургана до Варгашей?
   
4. Автобусные билеты могут иметь шестизначные номера от 000000 до 999999. Сколько среди них номеров, в записи которых участвует хотя бы одна цифра 7?
   
5. Докажите, что неравенство x²-6x+9≥4y(x-y)-12y выполняется при любых действительных значениях x и у.
   
6. В треугольник вписана окружность. Докажите, что треугольник, образованный точками касания, является остроугольным.