ЗАДАЧИ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ

	(1)
	(2)

1. Выложите из четырёх фигурок Т-тетрамино (1) и двенадцати фигурок Z-тетрамино (2) какой-нибудь прямоугольник. (Фигурки можно поворачивать и переворачивать).
2. Найдите все трёхзначные числа, произведение цифр которых равно 36.
3. Отметьте на плоскости 5 точек и соедините их отрезками трёх цветов так, чтобы среди десяти треугольников с вершинами в отмеченных точках, у семи треугольников цвета всех трёх сторон были различны.
4. Винни-Пух, Сова и Пятачок решили подарить Иа-Иа на день рождения много-много воздушных шариков. Договорились, что Винни-Пух принесёт шариков в два раза меньше, чем Сова с Пятачком вместе взятые, и что Сова принесёт шариков в три раза больше, чем Пятачок. В итоге, Иа-Иа подарили ровно 20 шариков. Докажите, что не менее 4-х шариков лопнули по дороге.
5. Программист Ваня написал натуральное число от 1 до 9, умножил его на 6, затем от получившегося числа оставил только последнюю цифру. Её он разделил на 2 и прибавил к результату 6. Получившееся число Ваня умножил на 5 и затем отнял из него 3. После этого он стёр у результата все цифры кроме последней. Какое наибольшее число могло получиться в результате?
6. В круг встало несколько индейцев и несколько бледнолицых. Индейцы говорят правду индейцам и лгут бледнолицым, бледнолицые лгут индейцам и говорят правду бледнолицым. Каждый из них сказал своему соседу справа: "Ты - индеец" или "Ты - бледнолицый". Этих фраз оказалось поровну. Докажите, что индейцев и бледнолицых одинаковое количество.

ЗАДАЧИ ДЛЯ 7-8 КЛАССОВ

1. Хрюша хочет перемножить семь различных натуральных чисел так, чтобы в результате получился миллион. Удастся ли ему это сделать без ошибки?
2. Из всех десяти цифр, используя каждую ровно один раз, составили два натуральных числа. Какое минимальное значение может принимать модуль их разности? Докажите, что меньшего значе-ния получиться не может.
3. В зоопарке живут жирафы и бегемоты. 2 жирафа и 4 бегемота вместе весят меньше 5 тонн. 3 жирафа и 5 бегемотов вместе весят больше 7 тонн. Все жирафы одного веса, как и все бегемоты. Кто тяжелей - жираф или бегемот? Ответ обоснуйте.
4. Доказать, что если число вида 2222...2 (записанное только цифрами 2) делится на 7, то оно делится и на 13.
5. В компании "Макрохард" работают 99 человек. Каждые двое - либо друзья, либо - враги. Может ли оказаться так, что каждые два друга имеют общего врага, и каждые два врага имеют общего друга?
6. Китайский калькулятор умеет преобразовывать число x на экране в число 2x+1 или в число 3x+1. Первоначально на экране было число 1. Числа, которые можно получить за одну или несколько операций назовём достижимыми. Существуют ли три последовательных достижимых числа?

ЗАДАЧИ ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ

1. Придумайте неравенство, множеством решений которого является множество (∞;-1) È [2;3) È {5}.
2. В комнате находилось несколько (не менее двух) человек, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Они по очереди выходили из комнаты, и каждый перед тем, как выйти, говорил: "Сейчас лжецов в комнате ровно четверо". Через некоторое время комната опустела. Сколько человек могло нахо-диться в комнате вначале? Перечислите все варианты и объясните, почему других вариантов нет.
3. Решите уравнение cos⁴ x + cos 2x = 2 + sin⁴ x.
4. Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых 2х² + у² = 2xy + 4х.
5. Про квадратный трёхчлен x² + px + 1, где p - целое число, известно, что он принимает положительные значения при всех целых значениях x. Докажите, что он принимает положительные значения при всех значениях х.
6. Докажите, что для того, чтобы диагонали четырёхугольника были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы средние линии четырёхугольника были равны (средней линией четырёхугольника называется отрезок, соединяющий середины противоположных сторон).
7. Пусть BC - наибольшая сторона треугольника ABC. На ней взяты точки K и L такие, что BK = BA и CL = CA. На стороне AB взята точка M такая, что BM = BL, а на стороне AC взята точка N такая, что CN = CK. Докажите, что точки A, N, K, L и M лежат на одной окружности.