Задача № 1. Витя сложил квадраты всех нечётных натуральных чисел от 1 до 2003, а Стас - квадраты всех чётных натуральных чисел от 2 до 2002. У кого получилось больше и на сколько?

Задача № 2. Для постройки типового дома не хватило места и архитектор Прокрустов решил изменить проект: убрал 2 подъезда и добавил три этажа. При этом количество квартир в доме увеличилось. Прокрустов обрадовался и решил убрать ещё два подъезда, и добавить три этажа. Могло ли случиться так, что после этого количество квартир в доме стало меньше, чем планировалось с самого начала?

Задача № 3. Существуют ли множество, состоящее из четырёх различных натуральных чисел такое, что при любом разбиении его на два непустых подмножества сумма всех чисел одного из подмножеств делится на сумму всех чисел другого?

Задача № 4.  Найдите наименьшее натуральное число, из которого, вычёркивая некоторые его цифры, можно получить любое натуральное число от 1 до 20.

Задача № 5. В треугольнике ABC медиана, проведённая к стороне AB, равна стороне BC. Докажите, что 3BC>AC.

Задача № 6. На гранях кубика написаны числа от 1 до 6 в том же порядке, что и на гранях игрального кубика: 1 напротив 6, 2 напротив 5, 3 напротив 4. Любопытный Рома проделывает с кубиком следующую операцию: выбирает три грани, имеющие общую вершину, и прибавляет к числам, записанным на этих гранях, любое число. (Не обязательно целое, не обязательно положительное). Может ли он с помощью этих операций получить кубик с числами 2001—2005, 2002—2004, 2003—2000. (В пары объединены числа, которые должны находиться на противоположных гранях).

Задача № 7. На шахматной доске стоит 31 фишка. Докажите, что найдётся свободный «уголок» из трёх клеток.