ЗАДАЧИ ДЛЯ 5-6 КЛАССОВ.

1. Найдите наибольшее возможное значение выражения ЗМК+ЦДМО (буквами З, М, К, Ц, Д, О заменены некоторые цифры, причём одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные, т.е. ЗМК - это трёхзначное число, ЦДМО - четырёхзначное).
2. В конкурсе "Русский медвежонок" каждый участник отвечает на 10 вопросов стоимостью 3 балла, 10 вопросов стоимостью 4 балла и 10 вопросов стоимостью 5 баллов. За каждый правильный ответ участник получает количество баллов, равное стоимости вопроса, а за неправильный - 0. Оказалось, что все ученики школы №2005, принимавшие участие в конкурсе, набрали разное число баллов. Какое наибольшее количество учеников этой школы участвовало в конкурсе?
3. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Какое наименьшее количество чисел нужно стереть так, чтобы оставшиеся можно было разбить на две группы с равными произведениями чисел в группе?
4. Пять кур за 5 дней снесли 15 яиц. Сколько яиц снесут 15 кур за 15 дней?
5. Трое ребят играли в слова. Каждый составил по 10 слов. Если слово есть у всех, оно вычеркивается, если ровно у двоих - оба получают по одному очку, за остальные свои слова каждый получает по три очка. В итоге больше всех очков набрал Егор, второе место занял Дима, а проигравший Кузя набрал 19 очков. Сколько очков набрал Дима и сколько - Егор?
6. В погребе 8 банок клубничного варенья, 7 малинового и 5 вишневого. Сколько банок можно в темноте вынести из погреба с уверенностью, что там останутся еще хотя бы 4 банки одного сорта варенья и 3 банки другого?
7. Как, ничего не измеряя, отрезать от ленты длиной 1 м 44 см кусок длиной 27 см?
8. Семья состоит из трёх человек: отца, матери и сына. В настоящее время сумма их возрастов составляет 74 года, а 10 лет назад эта сумма составляла 47 лет. Сколько лет сейчас отцу, если он старше сына на 28 лет?
9. Какие веса должны иметь три гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить на чашечных весах любое целое число килограммов от 1 до 10 (гири можно ставить на обе чашки весов)?
10. Можно ли раскрасить все клетки квадрата 10×10 в четыре цвета так, чтобы любые четыре клетки, образующие фигуру Z-тетрамино (см. рис.) были разного цвета (фигуру можно поворачивать и переворачивать)?
11. Нарисуйте 8 одинаковых квадратов так, чтобы ровно 15 точек были вершинами нарисованных квадратов.
12. Можно ли из полосок 1×1, 2×1, ... , 13×1 сложить прямоугольник со сторонами больше 1?
13. Пришёл Иван Царевич в казино и стал играть в рулетку. Сделав первую ставку, проиграл он половину своих денег и ещё 380 рублей. Сделав вторую ставку, проиграл треть остатка и ещё 180 рублей. И наконец, сделав третью ставку, проиграл Иван Царевич половину нового остатка и последние 450 рублей. Сколько денег было у Ивана Царевича перед посещением казино?
14. Пётр, Василий и Семён были на рыбалке. Пётр поймал 12 рыб, Василий — 9. Семён забыл дома удочку, поэтому ему пришлось отдать за уху, которую варили из всего улова, отдать 42 рубля. Как Пётр с Василием должны поделить эти деньги?

ЗАДАЧИ ДЛЯ 7-8 КЛАССОВ.

1. Расставьте скобки в левой части выражения 2:3:4:5:6=5 так, чтобы получилось верное равенство.
2. Шестизначное число имеет крайней левой цифрой 5. Откинув эту цифру слева и написав её в конце числа справа, получили число, которое в 4 раза меньше первоначального. Найдите первоначальное число.
3. Билет на стадион стоил 150 рублей. Когда цену понизили, количество посетителей увеличилось на 50%, а кассовый сбор увеличился на 25%. Сколько стал стоить билет после понижения цены?
4. Из своих домиков одновременно навстречу друг другу выехали Вини-Пух на автомобиле и Пятачок на велосипеде. После столкновения они продолжили свой путь. Вини-Пух, доехав до дома Пятачка, тотчас повернул назад и догнал Пятачка через 2 часа после момента столкновения. Сколько времени после столкновения ехал Пятачок до домика Винни-Пуха, если известно, что к моменту второй встречи он проехал 2/5 всего пути?
5. У фальшивомонетчика есть 40 внешне одинаковых монет, среди которых 2 фальшивых — они легче, чем настоящие и весят одинаково. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 20 настоящих монет?
6. Электронные часы показывают время от 00:00:00 до 23:59:59. Сколько времени в течение суток на табло горят ровно три цифры 7?
7. Сколько существует пар двухзначных чисел x и y, для которых произведение x·y является числом, записанным одинаковыми цифрами?
8. На 22 карточках написаны натуральные числа от 1 до 22. Из этих карточек составили 11 дробей. Какое наибольшее число этих дробей могут иметь целые значения?
9. На столе лежат девять карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 9. Двое по очереди откладывают в сторону по одной карточке. Проигрывает тот игрок, после хода которого сумма чисел на отложенных карточках становится больше 25. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий игру или его партнёр?
10. Можно ли раскрасить все клетки квадрата 10×10 в четыре цвета так, чтобы любые четыре клетки, образующие одну из фигур L-тетрамино (см. рис.) были разного цвета (фигуру можно поворачивать и переворачивать)?
11. Имеется 30 брёвен длиной 3 и 4 метра, суммарная длина которых равна 100 метров. Каким числом распилов можно распилить брёвна на чурбаны длиной 1 метр?
12. Найдите наименьшее натуральное число n такое, что сумма цифр числа n и сумма цифр числа n+1 — числа кратные 6.
13. Дан прямоугольник ABCD. На стороне BC взята точка K, а на стороне AD взята точка M так, что BK=DM. Отрезки AK и BM пересекаются в точке P, а отрезки DK и CM — в точке N. Докажите, что треугольники PAB и NCD равны.
14. У звезды ACEBD равны углы при вершинах A и B, углы при вершинах E и C, а также равны длины отрезков AC и BE. Докажите, что AD=BD.

ЗАДАЧИ ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ.

1. Решите уравнение:

   x2-6x-9	=	x2-4x-9
   x		x2-6x-9

   .
2. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек (x;y), координаты которых удовлетворяют уравнению

   x2+x	=1
   y2+y

   .
3. Положительное число x таково, что

   x2+	1	=7
   	x2

   . Докажите, что

   x+	1
   	x

   — целое и найдите его.
4. Существуют ли два последовательных натуральных числа, большие миллиона, такие, что суммы их цифр являются точными квадратами?
5. Про квадратные трёхчлены F₁ и F₂ известно, что они имеют корни, а F₁-F₂ не имеет. Докажите, что F₁+F₂ имеет корни.
6. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие - 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих фруктов?
7. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску чёрного и белого королей так чтобы они не били друг друга (напоминаем, что шахматный король бьёт все клетки, имеющие хотя бы одну общую точку с той клеткой, на которой он находится).
8. Из написанных в ряд всех натуральных чисел от 1 до 2005 вычеркнули все числа, делящиеся на 5. Какой цифрой будет оканчиваться произведение оставшихся чисел?
9. Электронные часы показывают время от 00:00:00 до 23:59:59. Сколько времени в течение суток на табло горят ровно четыре цифры 3?
10. Найдите значение суммы: .
11. Точка D - середина стороны AC треугольника ABC, DE и DF — биссектрисы треугольников ABD и CBD, соответственно. Отрезки BD и EF пересекаются в точке M. Докажите, что 2DM=EF.
12. В остроугольном треугольнике из одной вершины проведена высота, из другой — биссектриса, из третьей — медиана. Докажите, что проведённые медиана и биссектриса не могут делить высоту на три равные части.