10 класс — задачи
- Сумма всех последовательных натуральных чисел от 1 до n равна трехзначному числу, записанному одинаковыми цифрами. Найти n.
- На стороне CD квадрата ABCD взята некоторая точка Е, и вне ABCD построен квадрат DEFG. Найти площадь шестиугольника ABCEFG, если длина BF равна 10 см.
- В равнобедренном треугольнике с основанием 6 см и боковыми сторонами по 5 см расположен квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две других - на боковых сторонах. Найти длину стороны квадрата.
- Вычислить 22 + 42 + 62 +... +1002 -12 -32 -52 -...-992 (квадраты четных чисел берутся с плюсом, нечетных - с минусом).
- Среди 101 монеты ровно 50 фальшивых. Веса всех настоящих монет одинаковы, вес каждой фальшивой монеты отличается от веса настоящей на 1 грамм (в большую или меньшую сторону). Как за одно взвешивание на чашечных весах со стрелкой (которая показывает разность весов монет на чашках) определить, является ли данная монета фальшивой? На каждую чашку весов можно класть любое количество монет.
- На n+1 карточках записаны числа 1,а,а2 ,а3 ,...,аn, где a > 2, n ≥ 1. Доказать, что нельзя часть карточек сложить в одну кучку, часть - в другую, а некоторые выбросить так, чтобы суммы чисел в кучках были равными?