11 класс — задачи
- Два велосипедиста выехали одновременно с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Первый раз они встретились в 40 км от В, после чего каждый доехал до конечного пункта (первый до В, второй до А), развернулся и поехал обратно. Второй раз они встретились в 20 км от А через 8 часов после первой встречи. Найти скорости велосипедистов и расстояние от А до В.
- Найти все решения уравнения:
√ 
x-2√ x-1 √ x+2√ x-1 1 + = x-1 - На 23 отдельных карточках записаны натуральные числа от 1 до 23. Можно ли разложить все эти карточки на две кучи так, что сумма чисел на карточках одной кучи окажется на 21 больше, чем сумма чисел на карточках другой кучи?
- На стороне CD квадрата ABCD отмечена произвольная точка Р, а на стороне ВС точка Q так, что прямая AQ является биссектрисой угла РАВ. Доказать, что АР = BQ + DP .
- На каждой стороне выпуклого четырехугольника, как на диаметре, построен круг. Доказать, что четыре построенных круга полностью покрывают весь четырехугольник.
- В новогоднем карнавале участвуют 99 человек. Каждый из них знаком не менее, чем с 49 из присутствующих. Доказать, что среди участников карнавала можно найти четырех человек, которых можно поставить вокруг елки так, чтобы любые стоящие рядом участники были знакомы.