Первый тур (10 минут; каждая задача - 6 баллов).

1.1. Верно ли, что в неравных треугольниках напротив неравных сторон лежат неравные углы?
1.2. Решите уравнение:

√ x-3

+

√ 2x-8

+

√ 3x-15

+

√ 4x-24

+ 5x = 30.

1.3. Квадрат 4×4 разрезают по границам клеток на четыре одинаковых многоугольника. Сколькими способами это можно сделать (способы считаются различными, если при разрезании получаются неравные многоугольники)?

---

Второй тур (15 минут; каждая задача - 7 баллов).

2.1. Найдите две последние цифры в десятичной записи числа:
1! + 2! + ... + 2001! + 2002!+2003!Напомним, что n! - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
2.2. Прямая проходит через центр квадрата со стороной 1. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин квадрата до этой прямой.
2.3. Решите уравнение: 5cos 5x + 3sin 3x = 5.

---

Третий тур (20 минут; каждая задача - 8 баллов).

3.1. Решите уравнение в натуральных числах:
12x² - 4x - 2xy + 3y - 9 = 0.3.2. Верно ли, что если длина каждой медианы треугольника меньше 1, то его площадь меньше 1?
3.3. В городской олимпиаде по математике участвовало 100 человек, по физике - 50 человек, по информатике - 48 человек. Когда каждого из учеников спросили, в скольких олимпиадах он участвовал, ответ «по крайней мере в двух» дали в два раза меньше человек, чем ответ «не менее чем в одной», а ответ «в трёх» - втрое меньше человек, чем ответ «не менее чем в одной». Сколько всего человек участвовало в олимпиадах?

---

Четвертый тур (25 минут; каждая задача - 9 баллов).

4.1. На биссектрисе внешнего угла при вершине С треугольника ABC выбрана произвольная точка M, не совпадающая с С. Докажите, что AM+MB>AC+CB.
4.2. Изобразите на координатной плоскости XOY множество точек, удовлетворяющих неравенству y • ( x ² - 9 ) ≥ x - 3.
4.3. Какое максимальное количество нулей может стоять в конце десятичной записи числа 1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ?

---

Пятый тур (30 минут; каждая задача - 10 баллов).

5.1. Решите систему уравнений:

ì	x+ √ 1-y  = 1,
í
î	y+ √ 1-x  = √ 3  .

5.2. Представьте число 1 в виде суммы пяти различных квадратов рациональных чисел, отличных от 0.
5.3. Пусть M - внутренняя точка равностороннего треугольника ABC. Существует ли треугольник, стороны которого равны отрезкам MA, MB и MC, а вершины лежат на сторонах данного равностороннего треугольника?