10 класс. Задачи
- Какое наибольшее число точек можно расположить на данной окружности так, чтобы во всех образованных ими треугольниках ни один из углов не был меньше 25° ?
- Можно ли числа от 1 до 100 так расставить в квадрате 10х10, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была бы простым числом?
- Если последние три цифры числа 2003 записать в обратном порядке, то получится 300. Именно 300 лет исполняется Санкт-Петербургу в мае 2003 года. В каком из веков в III тысячелетии больше всего лет с таким же свойством?
- На стороне AC треугольника ABC взяты точки K и L такие, что AK = CL, а на сторонах AB и BC - точки M и N такие, что MN и AC параллельны. Докажите, что точка P пересечения прямых MK и NL лежит на медиане треугольника ABC или на ее продолжении.
- Представьте число 2003 в виде суммы кубов натуральных чисел, взяв для этого как можно меньшее число слагаемых.
- Если на плоском листе провести 4 прямые общего положения, то на получившемся чертеже можно найти 4 различных треугольника. Какое наименьшее число прямых нужно провести, чтобы на получившемся чертеже можно было найти 2003 различных треугольника?