10-е классы. Задачи
- Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых трёх идущих подряд чисел была отрицательной, а сумма всех десяти чисел - положительной?
- Докажите, что если a²+5ab+b² делится на 7, то и a²-b² делится на 7. (a, b — целые числа).
- Расстановка королей на шахматной доске называется «правильной», если ни один из них не бьёт другого и каждое поле доски либо находится под боем, либо занято одним из королей. Какое максимальное и какое минимальное количество королей может быть в «правильной» расстановке?
- Доказать, что для любых ненулевых чисел a, b и с выполнено неравенство
.(a²+b²+c²) æ ç è 1 + 1 + 1
≥9ö ÷ ø a² b² c² - В угол вписана окружность с центром в точке O, касающаяся его сторон в точках A и B. Через произвольную точку I отрезка AB перпендикулярно OI проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках С и D. Докажите, что длины отрезков DI и CI равны.
- Существуют ли такие квадратные трёхчлены f и g с единичными старшими коэффициентами, что для любого целого n число
f(n)g(n) целое, а числаf(n) ,g(n) иf(n)+ g(n) — нецелые.