Последнее обновление:16-10-2013

Городские олимпиады

 2008-2009   2007-2008   2006-2007   2005-2006   2004-2005   2003-2004   2002-2003   2001-2002 

11-е классы. Задачи 
  1. Найдите минимальное натуральное n, при котором n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 2000.
  2. В ряд выписали все натуральные числа от 1 до 10000, а затем стёрли те из них, которые не делятся ни на 4, ни на 7. Какое число будет стоять на 2005-м месте?
  3. Числа
    1
    a+b
    ;
    1
    a+c
    и
    1
    b+c
    образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что числа a², b² и с² также образуют арифметическую прогрессию.
  4. В турнире по настольному теннису, где каждый сыграл с каждым ровно одну партию и ничьи невозможны, участвовали блондины и рыжие, причём блондинов было втрое больше. Оказалось, что число партий, выигранных рыжими, равно числу партий, выигранных блондинами. Сколько игроков участвовало в турнире и кто победил - блондин или рыжий?
  5. Вычислите arctg 1+arctg 2+arctg 3.
  6. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB равны. Докажите, что AC=BD.