Тур 1 — 7-8 класс
- Вовочка и Ванечка играют в такую игру. Они по очереди из клетчатой доски размерами 9×10 вычеркивают любую горизонталь или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Вовочка ходит первым. Кто выиграет?
- На рынок привезли 4 гири с надписями на них: "2кг", "3кг", "5кг", "8кг". Известно, что одна из надписей не соответствует действительности. За какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах можно найти бракованную гирю и определить, легче она или тяжелее, чем нужно? Других гирь под рукой нет.
- В блокноте 10 страниц, на каждой из них написано утверждение:
- на первой странице: «В этом блокноте количество неверных утверждений делится на 1»;
- на второй странице: «В этом блокноте количество неверных утверждений делится на 2»;
- на третьей: «В этом блокноте количество неверных утверждений делится на 3»; ...
- на десятой: «В этом блокноте количество неверных утверждений делится на 10».
- Можно ли на клетчатой доске размером 3х3 расставить различные четырехзначные натуральные числа так, чтобы сумма любых двух соседних по стороне чисел делилась на 2006?
- Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 13 равнобедренных треугольников.