Тур 2 — 7-8 класс
- Петя у каждого двузначного числа нашел сумму цифр. Какие утверждения верны?
- а) Чисел с суммой цифр 5 ровно 5.
- б) Чисел с суммой цифр 8 меньше, чем чисел с суммой цифр 12.
- в) Чисел с суммой цифр 13 столько же, сколько чисел с суммой цифр 6.
- г) Чисел с суммой цифр 10 больше всего.
- д) Чисел с суммой цифр 12 и 8 столько же, сколько с суммой цифр 11 и 9.
- Кирилл, Яша и Дима играли в карты. Дима раздал на всех колоду из 36 карт. Оказалось, что ни у кого из ребят количество карт не равно 12. Может оказаться так, что :
- а) ... у Димы вдвое меньше карт, нежели у Кирилла и Яши вместе.
- б) ... у Кирилла на 2 карты меньше, чем у Димы, и на 2 карты больше, чем у Яши.
- в) ... у Яши на 6 карты меньше, чем у Димы, и на 5 карты больше, чем у Кирилла.
- г) ... у Яши на 16 карт меньше, чем у остальных, у Димы на 6 карт меньше, чем у остальных.
- д) ... у Димы в 2 раза меньше, чем у Кирилла, а у Яши в 3 раза больше, чем у Кирилла
- Какие из неравенств верны?
- а)
500 < 1001 1003 2006 - б)
2005 > 2006 2006 2007 - в)
1006 ≥ 1 ≥ 1000 1006 2 2006 - г)
9999 ≥ 999 ≥ 9 10000 1000 10 - д)
100 > 101 206 207
- а)
- Простые числа p, q таковы, что (p + 1)(q + 1) = pq + 104.Сколько различных значений может принимать p?
- а) таких p и q не существует
- б) 2
- в) 3
- г) 4
- д) бесконечно много
- И числитель, и знаменатель обыкновенной (возможно, сократимой; не обязательно правильной) дроби увеличили на 2 (и числитель, и знаменатель - натуральные числа). Значение дроби при этом могло:
- а) ... увеличиться
- б) ... уменьшиться
- в) ... не измениться
- г) ... только уменьшиться или остаться неизменным
- д) ... только увеличиться или остаться неизменным
- Вася проехал на своем автомобиле 25 км. Каждые 10 км он преодолевал менее чем за 10 минут. Из этого следует, что :
- а) ... средняя скорость на всем пути равна 60 км/час;
- б) ... он потратил на весь путь более 20 минут;
- б) ... он мог останавливаться на этом пути;
- г) ... он потратил на весь путь не более 25 минут.
- д) ... он потратил на весь путь более 30 минут.
- Последовательные натуральные числа выписаны в строчку, начиная с 1, без пробелов: 12345678910111213... Какие утверждения верны?
- а) На 2006 месте стоит цифра 6.
- б) На 2005 месте стоит цифра числа 604.
- в) Среди первых 200 цифр меньше всего нулей.
- г) Сумма первых 189 цифр кратна девяти.
- д) Среди первых 230 цифр встретится пять единиц подряд.
- В турнире класса по шашкам участвовали 5 ребят. Каждый сыграл с каждым одну партию. За каждую победу игрок получал 2 балла, за ничью - 1 балл, за поражение - 0 баллов. Могло ли быть так, что:
- а) ... Победитель выиграл только одну партию
- б) ... Всего сыграно 15 партий
- в) ... По окончанию турнира все ребята могли набрать разное число очков
- г) ... Победитель мог набрать 4 балла - больше всех!
- д) ... Кто набрал меньше всех баллов мог выиграть у того, кто набрал больше всех баллов.
- Вася выписал 100 членов последовательности чисел: 15, 25, 35, 45.... Чтобы получить каждый следующий член последовательности, он к предыдущему прибавлял 10. В это время Дима выписал 100 членов своей последовательности чисел: 9, 17, 25, 33.... Чтобы получить каждый следующий член последовательности, Петя к предыдущему прибавлял 8. Тут пришел Миша и стер всю Васину последовательность, кроме одного числа, и всю Димину последовательность, также кроме одного ее члена. Чему может быть равна сумма двух оставшихся чисел?
- а) 96
- б) 200
- в) 333
- г) 1792
- д) 2006.
- В компании студентов каждый знает ровно трех других, но нет трех студентов, которые попарно знакомы между собой (каждый знает двух других). Сколько человек может быть в такой компании?
- а) 4
- б) 6
- в) 7
- г) 8
- д) 9.
- На доске изначально написано число 2006. За один ход можно вместо написанного числа написать его натуральный делитель (кроме самого числа), увеличенный на 1. Какое число может получиться после нескольких ходов?
- а) 5
- б) 127
- в) 502
- г) 18
- д) 725.
- Каким количеством нулей может заканчиваться произведение всех натуральных делителей числа?
- а) 0
- б) 2
- в) 3
- г) любым натуральным
- д) любым четным.
- В стране n городов и 50 дорог. Каждая дорога соединяет ровно 2 города, и никакие 2 города не могут быть соединены более чем одной дорогой. Из любого города можно по дорогам добраться до любого другого города. Чему может быть равно число n?
- а) 10
- б) 11
- в) 30
- г) 51
- д) 55.
- Прямоугольник с периметром 10 см разрезали на три прямоугольника. Какие утверждения верны?
- а) Если периметры всех частей равны, то и части равны
- б) Все три части могут быть квадратами
- в) Если части имеют периметры 5 см, 6 см и 7 см, то общая длина разрезов может быть любым числом от 3,5 см до 4,5 см
- г) Площадь одного из прямоугольников может быть равна 7
- д) Площадь одного из прямоугольников может быть в 2 раза больше каждого из двух других
- Таблицу 3×3 заполнили числами от 1 до 9 (использованы все числа). Затем на доске выписали все разности между соседними числами в таблице (стоящими в клетках с общей стороной). Получили 12 положительных чисел. Сколько разных чисел могло получиться среди этих разностей?
- а) 2
- б) 3
- в) 4
- г) 8
- д) 9.