Тур 3 — 7-8 класс
- Дано 2006 натуральных чисел, при чем произведение любых трех из них делится на 27. Докажите, что произведение всех чисел будет делиться на 32006.
- В вершинах треугольной пирамиды стоят числа. За один шаг разрешается выбрать любое ребро и прибавить к числам, стоящим на его концах, по единице. Можно ли за несколько шагов сделать все числа равными, если в начале числа были:
- а) 1; 2; 3; 4;
- б) 1; 2; 3; 2007?
- Простая шашка находится на поле А1 шахматной доски (доска стандартно пронумерована: вертикали от a до h и горизонтали от 1 до 8). Сколькими различными путями она может пройти в дамки (добраться до 8 горизонтали), если на доске нет никаких других шашек?
- На какое наименьшее число кусков можно разрезать произвольный треугольник, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, если разрешается делать только прямолинейные разрезы? (Под прямолинейным разрезом подразумевается проведение одной прямой на плоскости.)
- Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдется правильный треугольник, вершины которого покрашены в один цвет.