Задача № 1. Вы видите, как на стенке то появляются, то исчезают светящиеся трёхзначные числа. На стене написано, что каждое следующее число — это три последние цифры произведения двух предыдущих чисел. Вспыхивает число 995, после этого — ещё несколько чисел, которых Вы не запомнили, затем появляется 998. Можно ли верить надписям на стенах?

Задача № 2. Лев построил ломаную OA₁A₂A₃...A₂₀₀₄ , все звенья которой равны 1, причем каждое звено A_kA_k+1 перпендикулярно соответствующему радиусу OA_k . Найдите длину последнего радиуса OA₂₀₀₄ .

Задача № 3. Известно, что уравнение x³-px²+qx-1=0 имеет 3 различных положительных корня. Докажите, что произведение коэффициентов p и q этого уравнения не может быть меньше 9.

Задача № 4. На плоскости построены несколько окружностей, никакие две из которых не пересекаются (но какие-то могут лежать внутри других). Назовем две окружности соседними, если на каждой из них можно выбрать по точке, отрезок между которыми не имеет общих точек ни с одной из остальных окружностей. Для каждой из построенных окружностей сосчитали число соседних с ней. Могла ли сумма всех этих чисел оказаться равной 2004 ?

Задача № 5. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) . Чему в новой алгебре Льва равно 2 во второй степени?

Задача № 6. Существует ли треугольник, длины всех сторон которого — целые числа, одна из них равна 2004, но площадь треугольника меньше 1 ?