Задача № 1. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) . Чему в новой алгебре Льва равно 2 в третьей степени?

Задача № 2. Существует ли треугольник, длины всех сторон которого — целые числа, одна из них равна 2004, но площадь треугольника меньше 1000 ?

Задача № 3. Известно, что уравнение x³-px²+qx-1=0 имеет 3 различных положительных корня. Докажите, что произведение коэффициентов p и q этого уравнения не может быть меньше 9.

Задача № 4. На плоскости провели несколько прямых, в результате чего она разбилась на многоугольные области. Вершинами этих областей являются точки пересечения проведенных прямых, а сторонами - отрезки (между вершинами), лучи (выходящие из вершин), либо (в исключительных случаях) целые прямые. В каждую область записали число ограничивающих ее сторон. Оказалось, что сумма записанных чисел равна 2004. Каким в этом случае могло быть число прямых?

Задача № 5. Найдите все пары натуральных чисел A и B, для которых справедливо равенство A^B-A^AB=2004 .

Задача № 6. Для каждого натурального N через P(N) обозначим число целочисленных решений уравнения x²+y²=N . Сколько цифр имеет десятичная запись числа P(1)+P(2)+P(3)+...+P(2003)+P(2004) ?