Задача № 1. Обозначим через Pn(x) произведение двучленов x-1 , x²-2 , ... , xn-n . Найдите все такие n , при которых уравнение Pn(x)=2004 имеет целый корень.
Задача № 2. Известно, что углы A и B - острые и удовлетворяют двум уравнениям: sinB=tg2A и tgB=cos3A . Выразите угол A в градусах.
Задача № 3. Правильным тетраэдром называется треугольная пирамида, все 6 ребер которой равны друг другу. Пусть точка K - середина ребра CD правильного тетраэдра ABCD. В плоскости ABK построена окружность, касающаяся луча KA в точке A, а луча KB в точке B. Через EF обозначен параллельный AB диаметр этой окружности. Найдите величину угла EKF.
Задача № 4. Для каждого натурального N через P(N) обозначим число целочисленных решений уравнения x²+y²=N . Сколько цифр имеет десятичная запись числа P(1)+P(2)+P(3)+...+P(2003)+P(2004) ?
Задача № 5. Лев придумал новую алгебру, в которой сумма чисел A и B выражается через обычные арифметические действия формулой (A+B)/(1-AB) . Существуют ли в новой алгебре Льва такие различные положительные числа X и Y, для которых равны произведения X на Y и Y на X ?
Задача № 6. Докажите для x>0 неравенство arctgx>x/(1+x²) .